正弦交流电路是指含正弦电源且电路各部分产生的电压及电流均按正弦规律周期性变化的电路
为什么是正弦？
基本发电机是依据电磁感应定律工作的，线圈的均匀旋转自然会产生正弦感应电势
正弦函数的导数与解包含其本身(或者一部分)，能够简化电感和电容的分析
FFT变换能够将任意复杂信号分解为不同频率的正弦波叠加
描述
描述一个正弦量只需要三个要素
- 振幅(Amplitude):正弦量在变化过程中能达到的最大值($X_m$)
- 角频率(Angular Frequency):单位时间内变化的角速度($\omega,\text{rad/s}$)
$$\omega=2pi/T,T=\frac{1}{f}$$
- 初相位(Initial Phase):正弦量初始点的状态($\phi$)
所以一个标准的正弦电压表达式为：
$$u(t)=U_m\sin(\omega t + \phi)$$
有效值
有效值用于描述正弦量的数值大小，用于表示当前的交流电流的做功能力相当于某一数值的直流电流的做功能力，该直流电流的数值即称为交流电流的有效值，常用大写字母表示.
有效值与正弦量幅值的关系表示为：
$$\int_0^Tp\text{d}t = \int_0^Ti^2R\text{d}t = \int_0^TI^2R\text{d}t=I^2RT$$
即
$$I= \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^Ti^2\text{d}t}$$
对于周期电流，其有效值等于其瞬时值的平方在一个周期的积分取平均值后开平方，因此又称此有效值为方均根值
取 $i = I_m\sin \omega t$，则 $I$ 可积分为：
$$\begin{align}I&= \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^Ti^2\text{d}t}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T(I_m\sin\omega t)^2\text{d}t}\\&=\sqrt{\frac{I_m^2}{T}\int_0^T(\sin\omega t)^2\text{d}t}\\&=\sqrt{\frac{I_m^2}{T}\int_0^T\frac{1-\cos 2\omega t}{2}\text{d}t}\\&=\sqrt{\frac{I_m^2\cdot T}{2\cdot T}}=\frac{I_m}{\sqrt{2}}\end{align}$$
分析工具 – 相量法
相量法的核心思想是将一个随时间变化的正弦量表示为一个不随时间变化的复数，这个复数我们称之为相量(Phasor)
更深一点说，从信号分析的角度出发，相量法实现的是时域(Time Domain)与频域(Frequency Domain)的相连，时域中的波形分析在相量的转换下变为复数域上的辐角/相位分析。而运算工具也从复杂的微分方程(DE) 转换为更简单(Maybe？)的复数代数运算。
相量从何而来 – Euler‘s Formula
我们知道复数的三角表示法，也就是欧拉公式：
$$e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta\quad \text{where}\ j\ \text{equals}\ j^2 =-1$$
那么考虑一个标准的正弦量(此处取电压)：
$$u(t)= U_m\cos(\omega t + \phi)$$
那么根据欧拉公式，我们可以将其视为一个复数的实部
$$u(t) = \operatorname{Re}[\underbrace{U_m e^{j(\omega t + \phi)}}_{\text{旋转相量}}] = \operatorname{Re}[U_m e^{j\phi} \cdot e^{j\omega t}]$$
其中
- $e^{j\omega t}$ 表示已 $\omega$ 为角频率做逆时针旋转的因子
- $U_me^{j\phi}$ 是一个常量复数，包含了振幅和初相位这两个关键信息
那么定义振幅相量(Amplitude Phasor):
$$\dot{U}_m = U_m e^{j\phi} = U_m \angle \phi$$
相应的，有效值相量(RMS Phasor):
$$\dot{U} = Ue^{j\phi} = U\angle\phi$$
为什么需要相量 – 简化计算
一般情况下，我们面对的问题中正弦量之间同频，那么进行最简单的相加运算，从时域角度出发，计算为：
$$u(t) = u_1(t) + u_2(t) = U_{1m}\cos(\omega t + \phi_1) + U_{2m}\cos(\omega t + \phi_2) $$
显然不能直接运算，需要借助和差化积
再考虑频域分析，此时因为相量之和等于和函数的相量，所以我们有：
$$\dot{U} = \dot{U}_1+\dot{U}_2\longrightarrow \text{Re}[\dot{U}_1e^{j\omega t}]+\text{Re}[\dot{U}_2e^{j\omega t}]=\text{Re}[(\dot{U}_1+\dot{U}_2)e^{j\omega t}]$$
电阻元件的相量模型
考虑标准正弦电流 $i(t) = \sqrt{2}I\sin(\omega t – \phi_i)$
显然电阻的线性不影响频率相位，所以电阻两端电流电压同频同相位
$$\frac{\dot{U}}{\dot{I}}=\frac{U\angle\phi_U}{I\angle\phi_I}=R$$
功率转换为有效值进行计算
电感元件的相量模型
前文提及电感元件通直流阻交流，若连接至直流电源会导致电路短路甚至击穿，故此处只考虑交流电路
伏安特性
交流电路中电流通过电感元件会产生自感电动势，考虑通入电流时元件上的电压，由公式可知：
$$\begin{cases}
u(t)=L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}\\
i(t) = \sqrt{2}I\sin(\omega t – \phi_i)
\end{cases}
\Rightarrow
u(t) = L\cdot i'(t) = \sqrt{2}L\omega I\cos(\omega t + \phi_i)$$
因此电感两端的电流电压同频率但电压相位超前电流$\pi/2$.
令 $X_L=\omega L$ 那么上述公式可以写成和欧姆定律类似的形式
$$U=X_L\cdot I$$
称 $X_L$ 为感抗，单位同样为 欧姆。
感抗的倒数成为感纳，类似于电导，单位同样为西门子
功率
考虑瞬时功率 $p$
$$p = u\cdot i=\sqrt{2}U\cos(\omega t)\cdot \sqrt{2}I\sin(\omega t )=UI\sin(2\omega tt)$$
即其瞬时功率频率为原频率两倍，有效值计算同前文。
电容元件的相量模型
伏安特性
类似预电感，带入电容的电流公式：
$$
\begin{cases}
u(t)=\sqrt{2}U\sin(\omega t + \phi) \\
i(t) = C\frac{\text{d}u}{\text{d}t}
\end{cases}
\Rightarrow
i(t)=\sqrt{2}CU\omega \cos(\omega t + \phi)
$$
因此电感两端的电流电压同频率但电流相位超前电压$\pi/2$.
同样定义 $X_C=(\omega C)^{-1}$ ，此时公式同样可写成类似于欧姆定律的形式，此时 $X_C$ 称容抗。
相应的容纳，功率推导不再赘述。
RLC 电路
电路中同时包含电阻、电感、电容元件的电路称之为 RLC 电路。
串联 RLC 电路
电压三角形，由 $\dot{U}_R,\dot{U}_X,\dot{U}$ 组成的一个直角三角形，其中：
$$||\dot{U}|| = \sqrt{||\dot{U}_R||^2+(||\dot{U}_L|| – ||\dot{U}_C||)^2} = \sqrt{||\dot{U}_R||^2+||\dot{U}_X||^2}$$
写成相量形式则是
$$\dot{U} = \dot{U}_R + \dot{U}_X+\dot{U}_C$$
该形式同样为交流电路的基尔霍夫电压定律的向量形式，且可进一步拓展成：
$$\dot{U} = \dot{U}_R + \dot{U}_X+\dot{U}_C=[R+j(X_L-X_C)]\dot{I}=Z\dot{I}$$
性质
RLC 电路的电抗为：
$$X =X_L+X_C=\omega L – \frac{1}{\omega C}$$
那么考虑 $\omega L$ 和 $(\omega C)^{-1}$ 的相对大小，我们可以将基本 RLC 电路分为三种：
- 端口电压超前电流，电路呈感性，此时 $\omega L\gt(\omega C)^{-1}$
- 端口电压滞后电流，电流呈容性，此时 $\omega L\lt(\omega C)^{-1}$
- 端口电压与电流同相，电路呈阻性，此时 $\omega L=(\omega C)^{-1}$ ，称电路谐振
发表回复